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Análisis Matemático 66
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
11.
Calcule los siguientes límites
b) $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\operatorname{sen}(x \pi)}{x-1}$
b) $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\operatorname{sen}(x \pi)}{x-1}$
Respuesta
Para este ejercicio vale todo lo mismo que te dije en el item anterior, con L'Hopital ves a ojo que este límite da $-\pi$, así como escuchaste, A OJO. Para resolverlo sin L'Hopital vamos a tener que hacer un quilombo parecido al del item anterior, te repito, estás acá bajo tu propio riesgo jaja
Hacemos la distributiva adentro del seno:
$\lim _{y \rightarrow 0} \frac{\pi \sin(y + \pi)}{y}$
\(\sin(y + \pi) = -\sin(y)\) teniendo en cuenta cómo se comporta la función seno (ay por favor, te digo que con L'Hopital salia a ojooooo! jaja confiá en miiii)
$\lim _{y \rightarrow 0} \frac{-\pi \sin(y)}{y}$
Ahí si nos apareció el límite especial:
$\lim _{y \rightarrow 0} \frac{\sin(y)}{y} = 1$
Entonces, el límite nos da...
$
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sin (\pi x)}{x-1} = -\pi
$
Reportar problema
Para calcular el límite
$\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sin (\pi x)}{x-1}$
Lo único que sabemos es que $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1$. Tenemos que reescribir nuestro límite para poder usar esto.
$
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sin (\pi x)}{x-1}
$
Multiplicamos y dividimos la expresión por \(\pi\)
$
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sin (\pi x)}{x-1} \cdot \frac{\pi}{\pi} = \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\pi \cdot \sin (\pi x)}{\pi \cdot (x-1)}
$
Si en este punto usas la sustitución \(y = \pi(x - 1)\),
$y = \pi(x - 1) \Rightarrow x = \frac{y}{\pi} + 1$
Fijate que ahora cuando $x$ tiende a $1$, $y$ tiende a $0$. El nuevo límite en términos de \(y\) es:
$\lim _{y \rightarrow 0} \frac{\pi \sin(\pi \cdot (\frac{y}{\pi} + 1))}{\frac{y}{\pi}}$
Con L'Hopital salía A OJO, en el parcial si te tocaría un límite así sería un regalo. Lo difícil fue resolverlo sin usar L'Hopital todavía.